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2022年7月21日更新
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Heron Preston: Streetwear Designer

本稿では,断面二次モーメントについて説明したのち,様々な断面形状の断面二次モーメントを導出する。

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曲げモーメントに対するはりの部材の変形のしにくさを表した量である。物体の断面(大きさや形状)を変えると,断面二次モーメント(area moment of inertia, 2nd moment of area, second area moment, quadratic moment of alea)の値も変化するので,設計上の指標として用いられる。

圧縮応力(compressive stress),外側は引張応力(tensile stress)となる。

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図 曲げモーメントと曲げ応力
中立軸(neutral axis)という。

中立丸軸や角形などの単純な形状において,中立軸は断面図形の図心(centroid of area)を通過する。

下図に示すような図形において,その重心 G を図心という。したがって,図のように図心 G を原点とする直角座標系 $(y,z)$ を考える。

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図 はりの断面と図心

断面の微小面積要素 $\text{d}A$ と微小要素の $z$ 軸から距離 $y$ とすると,$z$ 軸に関する断面二次モーメント $I_z$ は次式で求められる。

\[ I_z = \int_{A}{y^2}\text{d}A \]

断面の微小面積要素 $\text{d}A$ と微小要素の $y$ 軸から距離 $z$ とすると,$y$ 軸に関する断面二次モーメント $I_y$ は次式で求められる。

\[ I_y = \int_{A}{z^2}\text{d}A \]

なお,断面二次モーメントの量記号,次元,SI 単位は次表で表される。

断面二次モーメント
項目 記号,次元,単位 説明
量記号 $I$ 大文字のアイ
次元 $L^4$ 長さの 4 乗
SI 単位 m4 メートルの 4 乗

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ピエール・ヴァリニョン(Pierre Varignon,1654 年 - 1722 年)はフランスの数学者である。静力学の分野でのヴァリニョンの定理(バリニオンの定理)で知られる。

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下図に示すウェブの幅 $t_1$,フランジの幅 $B$,フランジ厚さ $t_2$,高さ $H$ の I 形断面(I-beam)の $y$ 軸に関する断面二次モーメント $I_z$ を求める。

I 形断面
図 I 形断面

ウェブ部の微小要素の面積 $\text{d}A$ は次式で表される。

\[ \text{d}A=t_1 \text{d}y \]

フランジ部の微小要素の面積 $\text{d}A$ は次式で表される。

\[ \text{d}A=B \text{d}y \]

I 形断面の図心 G を通り,各辺に平行な座標系 $(y, z)$ を考える。$z$ 軸に関する対称性を考慮し,$y$ 軸に関する断面二次モーメント $I_z$ を求める。

\[ I_z=\int_A y^2 \text{d}A \] \[ I_z=2\int^{\frac{H}{2}-t_2}_{0} y^2 \cdot t_1 \text{d}y +2\int^{\frac{H}{2}}_{\frac{H}{2}-t_2} y^2 \cdot B\text{d}y \] \[ I_z=2t_1[\frac{y^3}{3}]^{\frac{H}{2}-t_2}_{0} +2B[\frac{y^3}{3}]^{\frac{H}{2}}_{\frac{H}{2}-t_2} \] \[ I_z=2t_1 \times \frac{1}{3}\times(\frac{H}{2}-t_2)^3 +2B \times \frac{1}{3}\times(\frac{H}{2})^3 -2B \times \frac{1}{3}\times(\frac{H}{2}-t_2)^3 \] \[ I_z=\frac{t_1}{12}(H-2t_2)^3+\frac{BH^3}{12} -\frac{B}{12}(H-2t_2)^3 \] \[ I_z=\frac{BH^3-(H-2t_2)^3(B-t_1)}{12} \]

図に示す直径が $d$ である円形(中実丸棒)断面の $y$ 軸に関する断面二次モーメント $I_z$ を求める。

円形断面
図 円形断面

赤色で示した微小要素の面積 $\text{d}A$ は次式で表される。

\[ \text{d}A = 2 \sqrt{\frac{d^2}{4}-y^2}\cdot \text{d}y \]

円形断面の $y$ 軸に関する断面二次モーメント $I_z$ は次式で求められる。

\[ I_z=\int_{A} y^2 \text{d}A=\int^{\frac{d}{2}}_{-\frac{d}{2}} y^2 \cdot 2 \sqrt{\frac{d^2}{4}-y^2}\cdot \text{d}y \]

ここで,$\displaystyle y=\frac{d}{2}\sin{\theta}$ とおく。

\[ \frac{\text{d}y}{\text{d}\theta}=\frac{d}{2}\cos{\theta} \] \[ \text{d}y=\frac{d}{2}\cos{\theta} \text{d}\theta \]
$y$ $\displaystyle -\frac{d}{2}$ 0 $\displaystyle \frac{d}{2}$
$\theta$ $\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ 0 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$

断面二次モーメント $I_z$ は,次式のように変形できる。

\[ I_z=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \frac{d^2}{4} \sin^2 \theta \cdot 2 \cdot \sqrt{\frac{d^2}{4}-\frac{d^2}{4}\sin^2 \theta} \cdot \frac{d}{2}\cos\theta \cdot \text{d}\theta \] \[ I_z=\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \frac{d^2}{4} \sin^2 \theta \cdot 2 \cdot \frac{d}{2}\cos\theta \cdot \frac{d}{2}\cos\theta \cdot \text{d}\theta \] \[ I_z=\frac{d^4}{8}\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \sin^2{\theta}\cos^2{\theta} \text{d}\theta \]

ここで,倍角の公式 $\sin{2\theta}=2\sin{\theta}\cos{\theta}$ より,次式に変形する。

\[ I_z=\frac{d^4}{32}\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \sin^2{2\theta} \text{d}\theta \]

ここで,半角の公式 $\displaystyle \sin^2{\frac{\theta}{2}}=\frac{1-\cos{\theta}}{2}$ より,次式に変形する。

\[ I_z=\frac{d^4}{32}\int^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos{4\theta}}{2} \text{d}\theta \] \[ I_z=\frac{d^4}{32}[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin{4\theta}}{8}]^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} \] \[ I_z=\frac{\pi d^4}{64} \]

断面二次極モーメント $I_p$により,断面二次モーメント $I_z$ を導出する。

円形断面(極)
図 円形断面(極)

上図に示す図心 G から距離 $r$ の微小円輪要素の面積 $\text{d}A$ は,次式で求められる。

\[ \text{d}A=2\pi r \cdot \text{d}r \]

断面二次極モーメント $I_p$ を求める。

\[ I_p=\int_{A}r^2 \text{d}A \] \[ I_p=\int^{\frac{d}{2}}_{0}r^2 \cdot 2\pi r \cdot \text{d}r \] \[ I_p=2\pi\int^{\frac{d}{2}}_{0} r^3 \text{d}r \] \[ I_p=2\pi[\frac{r^4}{4}]^{\frac{d}{2}}_{0} \] \[ I_p=\frac{\pi d^4}{32} \]

図形の対称性より,$I_z = I_y$ であるので,円形断面の $y$ 軸に関する断面二次モーメント $I_z$ は,次式で求められる。

\[ I_z =\frac{I_p}{2}=\frac{\pi d^4}{64} \]

図に示す外径が $D$,内径が $d$ である中空円形(中空丸棒)断面の $y$ 軸に関する断面二次モーメント $I_z$ を求める。なお,断面二次極モーメント $I_p$により,断面二次モーメント $I_z$ を導出する。

中空円形断面
図 中空円形断面

上図に示す図心 G から距離 $r$ の微小円輪要素の面積 $\text{d}A$ は,次式で求められる。

\[ \text{d}=2\pi r \cdot \text{d}r \]

断面二次極モーメント $I_p$ を求める。

\[ I_p=\int_{A}r^2 \text{d}A \] \[ I_p=\int^{\frac{D}{2}}_{\frac{d}{2}}r^2 \cdot 2\pi r \cdot \text{d}r \] \[ I_p=2\pi\int^{\frac{D}{2}}_{\frac{d}{2}} r^3 \text{d}r \] \[ I_p=2\pi[\frac{r^4}{4}]^{\frac{D}{2}}_{\frac{d}{2}} \] \[ I_p=\frac{\pi (D^4-d^4)}{32} \]

図形の対称性より,$I_z = I_y$ であるので,円形断面の $y$ 軸に関する断面二次モーメント $I_z$ は,次式で求められる。

\[ I_z =\frac{I_p}{2}=\frac{\pi (D^4-d^4)}{64} \]

図に示す幅 $b$,内幅 $b_1$,高さ $h$,内高さ $h_1$ の長方形管断面の $y$ 軸に関する断面二次モーメント $I_z$ を求める。長方形管は,中空長方形,角パイプともいう。

長方形管断面
図 長方形管断面

\[ I_z = \int_{A}y^2 \text{d}A \] \[ I_z = 2 \int^{h_1/2}_{0} (b-b_1)y^2 \text{d}y + 2 \int^{h/2}_{h_1/2} by^2 \text{d}y \] \[ I_z = 2(b-b_1)[\frac{y^3}{3}]^{h_1/2}_{0} + 2b[\frac{y^3}{3}]^{h/2}_{h_1/2} \] \[ I_z = \frac{b{h_1}^3}{12} - \frac{b_1{h_1}^3}{12} + \frac{bh^3}{12} - \frac{b{h_1}^3}{12} \] \[ I_z = \frac{bh^3-b_1h_1^3}{12} \]

断面が正方形管,つまり,$b=h$,$b_1 = h_1$ のときの断面二次モーメント $I_z$ は次式で表される。

\[ I_z=I_y=\frac{b^4-{b_1}^4}{12} \]

断面二次モーメントに関する演習問題を示す。

図のような断面において,図心の座標 ($x_0$, $y_0$) の値を求めよ。ただし,$\displaystyle x_0 = \frac{S_y}{A}$,$\displaystyle y_0 = \frac{S_x}{A}$ であり,$S_x$,$S_y$ はそれぞれ $X$ 軸,$Y$ 軸まわりの断面一次モーメント,$A$ は全断面積を示すものとする。(単位は mm とする。)

断面
断面

演習問題の作成において,令和元年二級建築士試験 学科 Ⅲ(建築構造)No.1 の問題を参考とした。

図心を求めるために,下の図のように断面積が等しくなるよう 2 つに分けて考える。

2 つに分割した断面
2 つに分割した断面

断面 A の図心の座標は (10, 20),断面 B の図心の座標は (20, 50) である。よって,求める図心の座標は (15, 35) である。

$X$ 軸まわりの断面一次モーメントは,次式で求められる。

\[ S_x=\int_A{y}\text{d}A=20\int_{0}^{40}{y}\text{d}y + 40\int_{40}^{60}{y}\text{d}y=56000 \]

$Y$ 軸まわりの断面一次モーメントは,次式で求められる。

\[ S_y=\int_A{x}\text{d}A=60\int_{0}^{20}{x}\text{d}x+20\int_{20}^{40}{x}\text{d}x=24000 \]

全断面積 $A$ は,次式で求められる。(断面 A と断面 B の断面積の和)

\[ A=40\times20+20\times40=1600 \]

よって,図心の座標は,次式で求められる。

\[ x_0=\frac{S_y}{A}=\frac{24000}{1600}=15 \text{ [mm]} \] \[ y_0=\frac{S_x}{A}=\frac{56000}{1600}=35 \text{ [mm]} \]

図のような形状の等しい断面 A 及び断面 B において,図心を通る $X$ 軸に関する断面二次モーメントを求めよ。ただし,小数点以下は四捨五入とする。(単位は cm とする。)

断面 A(H 形断面)
断面 A(H 形断面)
断面 B(I 形断面)
断面 B(I 形断面)

演習問題の作成において,令和2年二級建築士試験 学科 Ⅲ(建築構造)No.1 の問題を参考とした。

H 形の断面 A の断面二次モーメントは,次式で求められ,337 [cm4] である。

\[ I_z = \frac{2t_2 B^3 + {t_1}^3(H-2t_2)}{12} = \frac{2 \times 2 \times 10^3 + 2^3(10-2\times 2)}{12}=337.3 \]

I 形の断面 B の断面二次モーメントは,次式で求められ,689 [cm4] である。

\[ I_z=\frac{BH^3-(H-2t_2)^3(B-t_1)}{12}=\frac{10\times10^3-(10-2\times2)^3(10-2)}{12}=689.3 \]

与えられた形状においては,H 形に比べ,I 形の方が断面二次モーメントが大きくなる。

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